Le equazioni di sistema

Tradotto ed adattato da “Linear Control Systems Analysis and Design” di J. D'Azzo e C. H. Houpis - Mc Graw - Hill - 1975

Introduzione

 Per analizzare un sistema dinamico è necessario determinare un modello matematico preciso che descriva completamente il sistema. La derivazione di questo modello si basa sul fatto che il sistema dinamico può essere completamente descritto da equazioni differenziali note o con dati di test sperimentali. La capacità di analizzare il sistema e determinare le sue prestazioni dipendono da quanto bene possano essere espresse matematicamente le relative caratte-ristiche. Conosciamo tecniche per la risoluzione di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti. Tuttavia, la soluzione di un'equazione tempo-variante o non lineare, spesso richiede una procedura numerica piuttosto che una grafica od informatica. I sistemi considerati di seguito sono descritti completamente da un insieme di equazioni differenziali a coefficienti lineari costanti. Tali sistemi sono detti essere “lineari tempo-invarianti (LTI)”; cioè, la relazione tra l'ingresso e l'uscita del sistema è indipendente dal tempo. Poiché il sistema non cambia con il tempo, l'uscita è indipendente dal momento in cui viene applicato l'ingresso. Generalmente si ricorre a metodi lineari in quanto conosciamo bene eleganti procedure matematiche che ci consentono di risolvere equazioni lineari. Per molti sistemi, ci sono regioni di funzionamento per le quali la rappresentazione lineare funziona molto bene.
Questo capitolo presenta dei metodi per scrivere le equazioni differenziali e di stato per una varietà di sistemi elettrici, meccanici, termici ed idraulici. Questo passaggio è il primo che un tecnico di sistemi di controllo deve apprendere. Per ciascun sistema verranno indicate le leggi fisiche di base e si definiranno i parametri associati.
Saranno inclusi esempi atti a mostrare l'applicazione delle leggi fondamentali all'apparecchiatura fisica. Il risultato è una equazione differenziale, o un insieme di equazioni differenziali, che descrive il sistema. Le equazioni derivate sono limitate a sistemi lineari o a sistemi che possano essere rappresentati da equazioni lineari oltre il campo utile di funzionamento. Verranno inoltre introdotti i concetti fondamentali di sistema e di variabili di stato. Le equazioni del sistema, espresse in termini di variabili di stato, sono chiamate equazioni di stato.
L'analisi del comportamento delle equazioni di sistema è meglio raggiunta attraverso la rappresentazione tramite uno schema a blocchi del sistema. Disegni completi, che mostrino in dettaglio tutte le parti che costuituiscono il sistema stesso, spesso sono troppo complesse per mostrare le funzioni specifiche svolte da ciascun componente. È pratica comune ricorrere ad uno schema a blocchi, in cui ogni funzione è rappresentata da un blocco in modo da semplificare la rappresentazione del sistema completo. Ciascun blocco viene etichettato con il nome del componente, ed i blocchi sono opportunamente interconnessi da tratti di linea. Questo tipo di schema rimuove l'eccesso di dettaglio dall'immagine e mostra l'operazione funzionale del sistema. L'uso di uno schema a blocchi fornisce un mezzo semplice con cui visualizzare la relazione funzionale dei vari componenti e rivela il funzionamento del sistema più facilmente di quanto non faccia l'osservazione del sistema fisico stesso. Il semplice diagramma funzionale a blocchi mostra chiaramente che sistemi fisici apparentemente diversi possono essere analizzati mediante le stesse tecniche. Dato uno schema a blocchi non con le caratteristiche fisiche del sistema, ma solo con la relazione funzionale tra i suoi vari punti, è possibile rivelare la somiglianza tra sistemi fisici apparentemente non correlati.
Uno schema a blocchi rappresenta il flusso di informazioni e le funzioni svolte da ciascun componente del sistema. Un ulteriore passo compiuto per aumentare le informazioni fornite dal diagramma a blocchi è etichettare la quantità in ingresso in ciascun blocco e la quantità in uscita da esso. Vengono usate frecce per indicare la direzione del flusso di informazioni. Il blocco rappresenta la funzione o le caratteristiche dinamiche del componente ed è rappresentato da una funzione di trasferimento. Lo schema a blocchi completo mostra come i componenti funzionali sono collegati e le equazioni matematiche che determinano la risposta di ciascun componente. Esempi di schemi a blocchi sono mostrati in questo capitolo. In generale, le variabili funzioni del tempo vengono rappresentate da lettere minuscole. Queste sono talvolta indicate nella forma x (t), ma più spesso questa viene scritta come x. Ci sono alcune eccezioni, a causa di convenzioni, nell'uso di certi simboli. Per semplificare la scrittura di equazioni differenziali, si usa la notazione dell'operatore D. Il simbolo D e 1 / D sono definiti da:
Dy= dy(t) dt    D 2 y= d y 2 (t) d t 2
D -1 y= 1 D y= 0 t y( τ )d τ + - 0 y( τ ) τ = 0 t y( τ )d τ + Y 0
in cui Y 0 rappresenta il valore dell'integrale al tempo t=0 ovvero il valore iniziale dell'integrale.

Circuiti e Componenti Elettrici

 Le equazioni di un circuito elettrico obbediscono alle leggi di Kirchhoff, che asseriscono che:
  1. La somma algebrica delle differenze di potenziale intorno ad un percorso chiuso è uguale a zero. Questo può essere riscritto come segue: Nel percorrere qualsiasi anello chiuso, la somma degli aumenti di tensione è pari alla somma delle cadute di tensione.
  2. La somma algebrica delle correnti che entrano (o che lasciano) un nodo è uguale a zero. In altre parole, la somma delle correnti che entrano in una giunzione è uguale alla somma delle correnti che lasciano la giunzione.
 Le sorgenti di tensione sono generalmente generatori in corrente alternata (ac) o corrente continua (dc). generalmente si indica col simbolo di una batteria il generatore di tensione continua. Le cadute di tensione compaiono tra i tre elementi elettrici di base: resistenze, induttori e condensatori. Questi elementi hanno valori costanti. La caduta di tensione attraverso un resistore è data dalla legge di Ohm, che stabilisce che la caduta di tensione su un resistore è uguale al prodotto della corrente attraverso la resistenza e la sua resistenza. I resistori assorbono energia dal sistema. Simbolicamente, questa tensione è scritta come v R =Ri .
La caduta di tensione ai capi di un induttore è data dalla legge di Faraday: v L =L di dt =LDi .
Questa equazione indica che la caduta di tensione ai capi di un induttore è pari al prodotto della induttanza per il tasso di tempo in cui aumenta la corrente. Un valore della derivata Di positivo comporta un aumento di corrente, e quindi una caduta di tensione positiva; una derivata di valore negativo implica una corrente decrescente, e quindi una caduta di tensione negativa.
La caduta di tensione diretta positivamente attraverso un condensatore è definita come il rapporto tra la grandezza della carica elettrica positiva sulla sua armatura positiva ed il valore della sua capacità. La sua direzione è dall'armatura positiva a quella negativa. La carica sull'armatura di un condensatore è uguale all'integrale nel tempo della corrente che entra nell'armartura dall'istante i-niziale al tempo t arbitrario, più il valore iniziale della carica. La tensione sul condensatore è scritta nella forma v C = q C = 1 C 0 t i t + Q 0 C = i CD .
Le unità nel sistema MKS sono riportate nella tabella seguente:

2.1 Circuito Serie Resistore Induttore

image: 0_var_www_html_libri_pdf_equazioni_di_sistema_2_1.jpg
 La sorgente di tensione e(t) in figura è una funzione del tempo. Quando l'interruttore è chiuso, facendo l'equazione alla maglia, abbiamo:
v R + v L =e
Ri+L di dt =Ri+LDi=e
Possiamo calcolare la tensione v L ai capi dell'induttore come:
v L =LDi
Quindi la corrente attraverso l'induttore è:
i= 1 LD v L
Sostituendo questi valori nell'equazione originale abbiamo:
R LD v L + v L =e
Anche il metodo del potenziale ai nodi può andar bene per calcolare direttamente le equazioni di sistema in termini di tensione. I punti di giunzione fra ogni componente prendono il nome di nodi. Questo circuito presenta tre nodi, nominati a, b e c. Normalmente si assume un nodo come potenziale di riferimento: in questo circuito è conveniente sia il nodo c. I potenziali agli altri nodi sono calcolati rispetto al nodo di riferimento. Quindi v ac è la caduta di tensione dal nodo a al nodo c e v bc è la caduta di tensione fra il nodo b e il nodo c di riferimento. Per semplicità queste tensioni sono scritte come v a e v b .
Essendo nota la tensione di ingresso al nodo a: v a =e c'è solo una tensione incognita ( v b ) e sarà necessaria solo un'equazione al nodo. Applichiamo la seconda legge di Kirchhoff, che dice che la somma algebrica delle correnti in un nodo è nulla, al nodo b.
La corrente fra il nodo b ed il nodo a attraverso R è ( v b - v a ) R . La corrente dal nodo b al nodo c attraverso l'induttore L è ( 1 LD ) v b . La somma di queste correnti deve essere nulla:
( v b - v a ) R + 1 LD v b =0
da cui
( 1 R + 1 LD ) v b - 1 R v a =0
sostanzialmente identica, al di là della notazione, a quella scritta in precedenza. Si noti che, col metodo del potenziale ai nodi, si scrive solo un'equazione.

2.2 Circuito Serie Resistore, Induttore e Condensatore (RLC)

image: 1_var_www_html_libri_pdf_equazioni_di_sistema_2_2.jpg
Nel circuito di figura, una volta che l'interruttore è chiuso, la tensione applicata è pari alla somma delle cadute sui singoli bipoli:
v L + v R + v C =e
LDi+Ri+ 1 CD i=e
L'equazione del circuito può essere riscritta in termini delle cadute di tensione ai capi di ogni elemento circuitale. Ad esempio, riscrivendola in funzione di v R =Ri , avremo:
v R + L R D v R + 1 RCD v R =e .

2.3 Circuiti elettrici con più maglie

image: 2_var_www_html_libri_pdf_equazioni_di_sistema_2_3.jpg
I circuiti elettrici con più maglie possono essere risolti sia scrivendo le equazioni alle maglie (metodo delle correnti cicliche o di Maxwell) che scrivendo le equazioni ai nodi. L'esempio seguente illustrerà entrambi i metodi. Cerchiamo la tensione di uscita v o .
Equazioni alle maglie. Disegnamo una corrente ciclica per ogni maglia e scriviamo, per questa, l'equazione di Kirchhoff:
( R 1 + 1 CD ) i 1 - R 2 i 2 - 1 CD i 3 =e
- R 1 i 1 +( R 1 + R 2 +LD ) i 2 - R 2 i 3 =0
- 1 CD i 1 - R 2 i 2 +( R 2 + R 3 + 1 CD ) i 3 =0
La tensione di uscita sarà v o = R 3 i 3 . Mettendo a sistema queste quattro equazioni otteniamo v o (t) in funzione della tenasione di ingresso e(t) e dei parametri circuitali.
metodo del potenziale ai nodi. I nodi vengono contrassegnati con una lettera per ogni nodo e si scrivono le equazioni di Kirchhoff per le correnti nei bipoli in funzione delle tensioni di ogni nodo. Il nodo d viene assunto come riferimento. essendoci due tensioni incognite, ci serviranno due equazioni, una al nodo b e l'altra al nodo c:
image: 3_var_www_html_libri_pdf_equazioni_di_sistema_2_4.jpg
Al nodo b:      i 1 + i 2 + i 3 =0
Al nodo c:    - i 3 + i 4 + i 5 =0
In funzione delle tensioni ai nodi, queste equazioni diventano:
v b - v a R 1 +CD v b + v b - v o R 2 =0
v o - v b R 2 + v o R 3 + 1 LD ( v o -e )=0
Risistemando i termini in modo da poter mettere le equazioni a sistema, otteniamo:
( 1 R 1 +CD+ 1 R 2 ) v b - 1 R 2 v o = 1 R 1 e
- 1 R 2 v b +( 1 R 2 + 1 R 3 + 1 LD ) v 0 = 1 LD e
In questo esempio, sono state necessarie solo due equazioni per calcolare il potenziale al nodo c. Dovremo usare un'equazione aggiuntiva nel caso in cui sia da calcolare anche la corrente in R 3 . Col metodo delle correnti cicliche, invece, abbiamo dovuto risolvere contemporaneamente tre equazioni per ottenere la corrente in ogni ramo, più una quarta per calcolare la corrente in R 3 . Ovviamente bisognerebbe utilizzare il metodo che consente di scrivere il minor numero di equazioni.
Le regole per scrivere le equazioni ai nodi possono essere così sintetizzate:
  1. Il numero di equazioni richiesto è pari al numero delle tensioni incognite ai nodi.
  2. Si scrive un'equazione per ciascun nodo.
  3. Ogni equazione include:

Cenni di algebra lineare

 Prima di procedere con l'analisi di altri sistemi fisici, vale la pena di introdurre alcuni concetti fondamentali del calcolo matriciale necessari per lo sviluppo del metodo di stato per la descrizione e l'analisi dei sistemi fisici.

3.1 Matrice

 Una matrice è un vettore rettangolare di elementi. Gli elementi possono essere numeri reali o cumeri complessi o, ancora, funzioni del tempo o della frequenza. Una matrice con α righe e β colonne è chiamata matrice α × β o matrice d'ordine α × β . Talvolta si dice che una matrice è di dimensione α × β . Se α = β si dice che la matrice è quadrata. Si utilizzano lettere maiuscole in grassetto per indicare matrici rettangolari e lettere minuscole grassettate per indicare matrici a colonna. Una forma generale per una matrice α × β è:
M=[ m 11 m 12 ... m 1 β m 21 m 22 ... m 2 β ... ... ... ... m α 1 m α 2 ... m α β ]=[ m ij ]
gli elementi vengono indicati da lettere minuscole. Si usano caratteri a doppio indice per indicare la posizione degli elementi nella matrice, quindi l'elemento m ij si trova alla i-esima riga ed alla j-esima colonna. Uno scalare è una matrice d'ordine 1.

3.2 Trasposta

 La trasposta di una matrice M si indica con M T . La matrice M T si ottiene scambiando righe con colonne nella matrice M . In generale, se M=[ m ij ] , la sua trasposta sarà M T =[ m ji ] .

3.3 Vettore

 un vettore è una matrice che ha o una sola riga o una sola colonna. Una matrice α × 1 si chiama vettore colonna e si indica con:
x=[ x 1 x 2 x α ]
mentre una matrice 1 × β si definisce vettore riga e si indica con:
x T =[ x 1 x 2 ... x β ].
Quindi la trasposta di un vettore colonna x è il vettore riga x T .

3.4 Addizione e Sottrazione di matrici

 La somma o la differenza di due matrici M ed N entrambe di ordine α × β è una matrice W di ordine α × β . L'elemento w ij di W=M ± N è w ij = m ij + n ij .
Queste operazioni godono delle propietà sia associativa che commutativa, ovvero:
Proprietà Commutativa:     M ± N= ± N+M
Proprietà Associativa:      ( M+N )+Q=M+( N+Q )
Esempio di addizione di matrici:
[ 3 1 2 1 0 -4 0 5 7 ]+[ 1 -3 1 2 1 5 -4 -1 0 ]=[ 4 -2 3 3 1 1 -4 4 7 ]

3.5 Moltiplicazione di Matrici

 La moltiplicazione di due matrici MN può essere effettuata se e solo se le due matrici sono conformi. Se gli ordini di M ed N sono α × β e γ × δ sono conformi se e solo se β = γ , ovvero, il numero di colonne di M deve essere uguale al numero di righe di N. In queste condizioni MN=W, in cui gli elementi di W sono definiti da w ij = k=1 β m ik n kj . Ovvero, ogni elemento della i-esima riga di M è moltiplicato per il corrispondente elemento della j-esima colonna di N e questi prodotti sono sommati per fornire l'elemento ij-esimo di W. L'ordine della matrice risultante è α × δ .
Le operazioni di moltiplicazione delle matrici sono riassunte qui oltre:
  1. Una matrice M α × β moltiplicata per una matrice N β × γ conduce ad una matrice W α × γ ovvero MN=W
  2. Una matrice M α × β moltiplicata per una matrice N β × α conduce ad una matrice quadrata W α × α ovvero MN=W. Si noti che, sebbene NM=Y sia ancora una matrice quadrata, il suo ordine è β × β .
  3. Quando una matrice M ha ordine α × β ed N è di ordine β × α ognuno dei prodotti MN ed NM è conforme. Comunque, in generale, MN = NM . Il prodotto di M ed N si dice incommutabile.
  4. Il prodotto MN si dice N premoltiplicato per M o M postmoltiplicato per N. In altri termini la premoltiplicazione o la postmoltiplicazione si usando per indicare quale matrice sia moltiplicata per l'altra dalla sinistra o dalla destra.
  5. Un vettore riga 1 × α moltiplicato per una matrice α × β porta ad un vettore riga 1 × β , ovvero x T M= y T .
  6. Una matrice β × α moltiplicata per un vettore colonna α × 1 conduce ad un vettore colonna β × 1 , ovvero Mx=y
  7. Un vettore riga 1 × α moltiplicato per un vettore colonna α × 1 fornisce una matrice 1 × 1 , ovvero x T y=w . La matrice w 1 × 1 è una quantità scalare e possiede tutte le proprietà di uno scalare.
  8. La moltiplicazione k volte di una matrice quadrata M per se stessa viene indicata con M k .
Gli esempi seguenti illustrano le precedenti operazioni:
Esempi di prodotti fra matrici:
[ 2 1 3 1 4 1 ][ 2 1 0 0 3 1 1 2 1 ]=[ 7 11 4 3 15 5 ]
[ 2 1 3 1 4 1 ][ 2 1 0 3 1 2 ]=[ 7 11 3 15 ]
[ 2 1 0 3 1 2 ][ 2 1 3 1 4 1 ]=[ 5 6 7 3 12 3 4 9 5 ]
[ 2 1 1 1 ][ 1 0 2 3 ]=[ 4 3 3 3 ]
[ 1 0 2 3 ][ 2 1 1 1 ]=[ 2 1 7 5 ]
[ 1 3 ][ 2 1 0 3 ]=[ 2 10 ]
[ 2 1 0 3 ][ 1 3 ]=[ 5 9 ]
[ 1 3 ][ 2 1 ]=[5]=5

3.6 Moltiplicazione di una matrice per uno scalare

 La moltiplicazione di una matrice M per uno scalare k è ottenuta moltiplicando ogni elemento m ij per k, ovvero:
kM=Mk=[ k m ij ]
Esempio:
2[ 1 0 5 -7 ]=[ 1 0 5 -7 ]2=[ 2 0 10 -14 ]

3.7 Matrice unitaria o matrice identità

 Una matrice unitaria, indicata con I, è una matrice diagonale in cui ogni elemento sulla diagonale principale è pari ad 1. Talvolta si utilizza la notazione I n per indicare una matrice identità di ordine n. Un esempio di matrice unitaria è il seguente:
I=[ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ]
La premoltiplicazione, così come la postmoltiplicazione, di una matrice M per la matrice unitaria I lascia la matrice invariata:
MI=IM=M

3.8 Derivazione di una matrice

 La dericazione di una matrice rispetto ad uno scalare è effettuata derivando ogni elemento della matrice rispetto alla variabile indicata:
d dt [ M(t) ]= M ˙ (t)=[ m ˙ ij ]=[ m ˙ 11 m ˙ 12 m ˙ 1 β m ˙ 21 m ˙ 22 m ˙ 2 β m ˙ α 1 m ˙ α 2 m ˙ α β ]
La derivata di un prodotto di matrici segue regole simili a quelle della derivata di un prodotto scalare, mantenendone l'ordine. Quindi, generalmente,
d dt [ M(t)N(t) ]=M(t) N ˙ (t)+ M ˙ (t)N(t)

3.9 Integrazione di una matrice

 L'integrazione di una matrice si ottiene integrando ogni elemento della matrice rispetto alla variabile indicata:
M(t) t =[ m ij t ]

Concetto di “stato”

 Assieme ai concetti base delle matrici, possiamo introdurre il concetto di “stato” ed i metodi per scrivere e risolvere le equazioni di stato. Lo stato di un sistema, di seguito indicato solo con “stato” è definito da Kalman come segue.

4.1 Stato

 Lo stato di un sistema è una struttura matematica contenente un insieme di n variabili x 1 (t), x 2 (t), , x i (t), , x n (t) , chiamate variabili di stato in modo che i valori iniziali x i ( t 0 ) di questo insieme e gli ingressi u j (t) del sistema siano sufficienti a descrivere univocamente la risposta futura del sistema per t t 0 . C'è un insieme minimo di variabili di stato necessario per rappresentare accuratamente il sistema. Gli r ingressi u 1 (t), u 2 (t), , u j (t), , u r (t) sono deterministici, ovvero hanno valori specifici per tutti i valori al tempo t t 0 .
Generalmente si assume che il valore iniziale t 0 sia nullo. Le variabili di stato non devono essere necessariamente quantità fisiche osservabili e misurabili. Come conseguenza della definizione di stato, si generano le seguenti definizioni aggiuntive.

4.1.1 Vettore di stato

 L'insieme delle variabili di stato x i (t) rappresenta gli elementi o le componenti del vettore di stato n-dimensionale x(t) , cioè:
x(t)=[ x 1 (t) x 2 (t) x n (t) ]=[ x 1 x 2 x n ]=x
Quando tutti gli ingressi u j (t) di un dato sistema sono specificati per t> t 0 il vettore di stato risultante definisce univocamente il comportamento del sistema per ogni t> t 0 .

4.1.2 Spazio di stato

 Lo spazio di stato è definito come quello spazio n-dimensionale in cui i componenti del vettore di stato rappresentano i suoi assi coordinati.

4.1.3 Traiettoria di stato

 La traiettoria di stato è definita come il percorso prodotto nello spazio degli stati dal vettore di stato x(t) come cambia con il passare del tempo. Lo spazio di stato e la traiettoria di stato nel caso bidimensionale sono indicati come il piano delle fasi e la traiettoria delle fasi, rispettivamente. Il primo passo nell'applicazione di queste definizioni ad un sistema fisico è la scelta delle variabili di sistema che devono rappresentarne lo stato. Si noti che non vi è alcun modo unico per effettuare questa scelta. Le tre rappresentazioni comuni per esprimere lo stato del sistema sono il metodo delle variabili di stato fisiche, delle variabili di stato di fase, e le variabili di stato canoniche.
La scelta delle variabili di stato per il metodo delle variabili di stato fisiche si basa sugli elementi del sistema che provvedono un accumulo di energia. La tabella in calce elenca alcuni elementi comuni in grado di immagazzinare energia che esistono nei sistemi fisici e le corrispondenti equazioni energetiche. La variabile fisica nell'equazione energetica per ciascun elemento può essere individuata come una variabile di stato del sistema. Variabili fisiche indipendenti vengono scelte solo per essere variabili di stato.
Le variabili di stato indipendenti sono quelle variabili di stato che non possono essere espresse in termini delle rimanenti variabili di stato assegnate. In alcuni sistemi può essere necessario determinare più variabili di stato che non solo le variabili relative ai componenti che immagazzinano energia. Questa situazione è illustrata in alcuni degli esempi seguenti, in cui la velocità è una variabile di stato. Quando ci interessa la posizione, l'integrale di questa variabile di stato, anche questa deve anche essere considerata come variabile di stato.
Esempio: circuito serie RL
Questo circuito contiene solo un elemento reattivo, l'induttore, quindi è ri-chiesta una sola variabile di stato.
dalla tabella vediamo che la variabile di stato è x i =i .
image: 0_var_www_html_libri_pdf_equazioni_di_sistema_2_1.jpg
L'equazione richiesta è quella che contiene la derivata prima della variabile di stato. Quindi possiamo riscrivere l'equazione alla maglia v R + v L =e
Ri+L di dt =Ri+LDi=e
ponendo u=e come
R x 1 +L x ˙ 1 =u
x ˙ 1 =- R L x 1 + 1 L u
La lettera u è la notazione standard per la funzione di ingresso forzante ed è chiamata variabile di controllo. La seconda equazione differenziale prende il nome di equazione di stato del sistema. Esiste una sola equazione di stato in quanto il sistema è del primo ordine: n=1.
Esempio: circuito serie RLC
image: 4_var_www_html_libri_pdf_equazioni_di_sistema_2_5.jpg
Questo circuito contiene due elementi reattivi che, cioè, immagazzinano e-nergia: l'induttore ed il condensatore. Dalla tabella, le due variabili di stato sono immediatamente individuate come x 1 = v c (la caduta ai capi del condensatore) ed x 2 =i (la corrente nell'induttore). Quindi avremo bisogno di due equazioni di stato.
Scriviamo l'equazione alla maglia per ottenere un'equazione che contenga la derivata della corrente nell'induttore ed un'equazione al nodo per ottenere un'equazione che contenga la derivata della tensione ai capi del condensatore. Il numero di equazioni alle maglie che dovrà essere scritto è pari al numero delle variabili di stato che rappresentano le correnti nell'induttore. Il numero di equazioni che coinvolgono le tensioni al nodo che dovrà essere scritto è pari al numero di variabili di stato che rappresentano le tensioni ai capi dei condensatori. Queste sono generalmente, ma non sempre, equazioni ai nodi. Queste equazioni, alle maglie ed ai nodi, sono scritte in termini di correnti nel ramo dell'induttore e di tensioni nel ramo del condensatore. Da queste equazioni, è necessario determinare quale delle variabili fisiche assegnate siano indipendenti. Quando una variabile di interesse non è una variabile fisica di energia, allora questa variabile è identificata come variabile di stato aumentata.
Nella figura, consideriamo il nodo b come nodo di riferimento. L'equazione al nodo a e l'equazione alla maglia sono, rispettivamente:
C x ˙ 1 = x 2
L x ˙ 2 +R x 2 + x 1 =u
Riscrivendo i termini abbiamo:
x ˙ 1 = 1 C x 2
x ˙ 2 =- 1 L x 1 - R L x 2 + 1 L u
Queste ultime equazioni rappresentano le equazioni di stato del sistema contenenti due variabili di stato indipendenti. Si noti che sono equazioni differenziali del primo ordine e sono in numero n=2. Questo è il numero minimo di equazioni di stato necessario per rappresentare l'andamento futuro del sistema.
La seguente definizione è basata su questi due esempi.

4.1.4 Equazioni di stato

 Le equazioni di stato di un sistema sono un insieme di n equazioni differenziali del primo ordine, in cui n è il numero di stati indipendenti. Le equazioni di stato rappresentate dalle equazioni precedenti sono espresse in notazione matriciale come:
[ x ˙ 1 x ˙ 2 ]=[ 0 1 C - 1 L - R L ][ x 1 x 2 ]+[ 0 1 L ]u
Questa può esser riscritta in forma più compatta come x ˙ =Ax+bu in cui:
 Nell'equazione precedente le matrici A ed x sono conformi.
Se la tensione ai capi del condensatore v c è l'uscita y(t) del circuito, allora
y(t)= v c = x 1
L'equazione dell'uscita del sistema allora diventa:
y(t)= c T x=[ 1 0 ][ x 1 x 2 ]
in cui c T =[ 1 0 ] è un vettore riga 1 × 2 ed y, in questo esempio, è il vettore di uscita monodimensionale.
Le equazioni precedenti sono per un sistema con un solo ingresso ed una sola uscita. Se avessimo avuto r ingressi ed m uscite queste equazioni sarebbero diventate:
x=Ax+Bu ˙
y=Cx in cui:
Esempio:
Per il circuito in figura, calcolare le equazioni di stato, considerando che corrente i 2 come uscita del sistema.
image: 5_var_www_html_libri_pdf_equazioni_di_sistema_2_6.jpg
Le variabili di stato assegnate sono x 1 = i 1 , x 2 = i 2 e x 3 = v c , quindi doppiamo scrivere due equazioni alla maglia ed una al nodo:
R 1 x 1 + L 1 x ˙ 1 + x 3 =u
- x 3 + L 2 x ˙ 2 + R 2 x 2 =0
- x 1 + x 2 +C x ˙ 3 =0
Le tre variabili di stato sono indipendenti e le equazioni di stato e di uscita del sistema sono:
x ˙ =( - R 1 L 1 0 - 1 L 1 0 - R 2 L 2 1 L 2 1 C - 1 C 0 )x+( 1 L 1 0 0 )u
y=[ 0 1 0 ]x
Esempio:
image: 6_var_www_html_libri_pdf_equazioni_di_sistema_2_7.jpg
Calcolare le equazioni di stato per il circuito rappresentato. L'uscita sia la tensione v 1 . L'ingresso, o la variabile di controllo, sia una sorgente di corrente i(t). Le variabili di stato assegnate sono i 1 , i 2 , i 3 , v 1 e v 2 . Dobbiamo scrivere tre equazioni alle maglie e due ai nodi:
v 1 = L 1 D i 1
v 2 = L 2 D i 2 + v 1 = L 3 D i 3
i 2 = C 1 D v 1 + i 1
i= i 3 + C 2 D v 2 + i 2
Sostituendo le ultime due nella seconda ed integrando, moltiplicando, quindi, per 1 D , otteniamo:
L 3 i 3 = L 2 i 2 + L 1 i 1 +K
in cui K è funzione delle condizioni iniziali.
Questa equazione mostra che la corrente di un induttore dipende dalle altre due correnti negli induttori. Così, questo circuito ha solo quattro variabili indipendenti fisiche di stato, due correnti negli induttori e due tensioni ai capi dei condensatori. Le quattro variabili di stato indipendenti sono:
x 1 = v 1 , x 2 = v 2 , x 3 = i 1 e x 4 = i 2 .
La variabile di controllo è u=i. Le tre equazioni di stato sono ottenibili dalle equazioni viste in precedenza, la quarta equazione di stato si ricava eliminando la corrente dipendente i 3 ottenendo:
x ˙ =[ 0 0 - 1 C 1 1 C 1 0 0 - L 1 L 3 C 2 - L 2 + L 3 L 3 C 2 1 L 1 0 0 0 - 1 L 2 1 L2 0 0 ]x+[ 0 1 C 2 0 0 ]u
y=[ 1 0 0 0 ]x
La dipendenza di i 3 da i 1 e da i 2 può non essere notata subito. In questo caso la matrice delle equazioni di stato per questo esempio potrebbe essere scritta utilizzando cinque variabili di stato.
Gli esempi fin qui visti sono piuttosto semplici. In generale è necessario scrivere più del numero strettamente necessario di equazioni di stato in quanto altre variabili di sistema appaiono in loro. Queste equazioni sono risolte contemporaneamente per eliminare tutte le variabili interne del circuito ad eccezione delle variabili di stato. Per circuiti più complessi è possibile introdurre metodi più generalizzati e sistematizzati che fanno ricorso a grafici lineari per ottenere le equazioni di stato.

Funzioni di trasferimento e diagrammi a blocchi

 Una quantità di importanza rilevante nella teoria dei controlli è la funzione di trasferimento del sistema, definita come segue:

5.1 Funzione di Trasferimento

 Se l'equazione differenziale è lineare, allora il rapporto fra la variabile in uscita e quella in ingresso, in cui le variabili sono espresse in funzione dell'operatore D, prende il nome di funzione di trasferimento.
Nel circuito RLC riportato in figura, consideriamo che l'uscita del sistema sia v c =y .
image: 1_var_www_html_libri_pdf_equazioni_di_sistema_2_2.jpg
Sostituendo i=CD v c nell'equazione LDi+Ri+ 1 CD i=e
abbiamo:
( LC D 2 +RCD+1 ) v c (D)=e(D)
La funzione di trasferimento del sistema sarà:
G(D)= y(D) u(D) = v c (D) e(D) = 1 LC D 2 +RCD+1
La notazione G(D) viene utilizzata per indicare una funzione di trasferimento quando viene espressa in termini dell'operatore D. Può essere anche semplicemente indicata come G.
La rappresentazione come diagramma a blocchi indicata nella figura seguente rappresenta l'operazione matematica G(D)u(t)=y(t) ovvero la funzione di trasferimento moltiplicata per l'ingresso fornisce l'uscita del blocco. L'equazione risultante è l'equazione differenziale del sistema.
image: 7_var_www_html_libri_pdf_equazioni_di_sistema_2_8.jpg

I Sistemi Meccanici Traslatori

 I sistemi meccanici obbediscono alla legge per cui la somma delle forze deve essere nulla. Questa legge è nota come Legge di Newton e può essere riscritta in questo modo: la somma delle forze applicate è pari alla somma delle forze reattive. Le tre qualità che caratterizzano gli elementi in un sistema di traslazione meccanica sono massa, elastanza e smorzamento. Ricordiamo che traslazione vuol dire spostamento in linea retta. L'analisi che segue comprende solo funzioni lineari. L'attrito statico, l'attrito di Coulomb, e altri termini di attrito non lineari non verranno considerati. Gli elementi di base che comportano queste qualità verranno rappresentati come elementi di rete, e verrà disegnata una rete meccanica per ogni sistema meccanico in modo da facilitare la scrittura delle equazioni differenziali.
La massa M è l'elemento inerziale. Una forza applicata ad una massa produce un'accelerazione della massa. La forza di reazione f M è uguale al prodotto della massa per l'accelerazione ed è in direzione opposta alla forza applicata. In termini di spostamento x, velocità v, ed accelerazione a, l'equazione della forza è:
f M =Ma=MDv=M D 2 x
La rappresentazione della massa in una rete meccanica è mostrata in figura. Un terminale, a, è soggetto al moto della massa; e l'altro terminale, b, si considera sia sottoposto al movimento di riferimento. La forza di reazione f M è una funzione del tempo e agisce ''attraverso'' M. L'elastanza, o rigidità, K offre una forza di richiamo come rappresentata da una molla. Così, se allungata, la molla cerca di contrarsi; se compressa, cerca di espandersi tornando alla sua lunghezza normale. La forza di reazione f K su ciascuna estremità della molla è la stessa ed è uguale al prodotto della rigidezza K per la quantità di deformazione della molla. La rappresentazione in rete di una molla è riportata nella medesima figura. Lo spostamento di ciascuna estremità della molla viene mi-surato dalla posizione iniziale o di equilibrio. Il terminale c occuupa la posizione x c e l'estremità d la posizione x d , misurata a partire dalle rispettive posizioni di equilibrio.
L'equazione della forza, in accordo con la legge di Hooke, è data da:
f K =K( x c - x d )
Se l'estremità d è stazionaria, l'equazione precedente si riduce a
f K =K x c
Il grafico di f K verso x c per una molla reale di solito non è una linea retta, perché la caratteristica della molla è non lineare. Tuttavia, su una regione limitata di funzionamento, l'approssimazione lineare, cioè un valore costante per K, dà risultati soddisfacenti.
Nella figura seguente vengono rappresentati gli elementi per la rete meccanica di sistemi traslazionali:
image: 8_var_www_html_libri_pdf_equazioni_di_sistema_2_9.jpg
In figura a il simbolo che rappresenta la massa M, in figura b quello per la molla con coefficiente di rigidità K e in figura c quello per lo smorzatore, o frizione viscosa, con coefficiente di attrito B. Lo smorzatore è l'elemento che assorbe energia.
La forza di smorzamento è proporzionale alla differenza di velocità di due corpi. L'ipotesi che l'attrito viscoso sia lineare semplifica la soluzione dell'equazione dinamica. La rappresentazione dell'azione di smorzamento nella rete è un ammortizzatore. Bisogna tener presente che lo smorzamento può essere sia intenzionale che non intenzionale ed è presente a causa della costruzione fisica. La forza di reazione smorzante f B è pari al prodotto dello smorzamento B per la velocità relativa delle due estremità dell'ammortizzatore. La direzione di questa forza dipende dai relativi moduli e dalle direzioni delle velocità D x a e D x f :
f B =B( v e - v f )=B( D x e -D x f )
Possiamo aggiungere uno smorzamento con l'uso di un ammortizzatore. Il suo funzionamento di base, in cui il contenitore è riempito con un fluido incomprimibile, è mostrato in figura.
image: 9_var_www_html_libri_pdf_equazioni_di_sistema_2_10.jpg
Se una forza f viene applicata all'albero, il pistone spinge contro il fluido, aumentando la pressione sul lato b e diminuendo la pressione sul lato a. Come risultato, il fluido fluisce intorno al pistone dal lato a al lato b. Se necessario, si può praticare un piccolo foro attraverso il pistone per fornire un percorso positivo per il flusso del fluido. La forza di smorzamento richiesta per muovere il pistone all'interno della custodia è dato dall'equazione precedente in cui lo smorzamento B dipende dalle dimensioni e dal fluido utilizzato.
Prima di scrivere le equazioni differenziali di un sistema completo, è bene disegnare la rete meccanica. Ciò viene fatto collegando i terminali degli elementi che hanno lo stesso spostamento. Quindi si scrivono le equazioni alle forze per ogni nodo o posizione uguagliando la somma delle forze in ogni posizione a zero. Le equazioni sono simili alle equazioni ai nodi in un circuito elettrico, in cui la forza è l'analogo della corrente, la velocità della tensione, e gli elementi meccanici con i loro operatori sono gli analoghi delle rispettive ammettenze. La posizione di riferimento in tutti i casi dovrebbe essere presa dalle posizioni di equilibrio statico. La forza di gravità, quindi, non appare nelle equazioni di sistema.

6.1 Semplici sistemi traslatori meccanici

image: 10_var_www_html_libri_pdf_equazioni_di_sistema_2_11.jpg
Il sistema mostrato in figura è inizialmente a riposo. Le estremità della molla e della massa hanno posizioni dette “posizioni di riferimento”, eventuali spostamenti da queste posizioni di riferimento sono indicati, rispettivamente, con x a ed x b . Una forza f applicata alla molla viene bilanciata dalla compressione della molla stessa. La stessa forza viene trasmessa anche attraverso la molla e agisce nel punto x b . Per disegnare la rete meccanica, il primo passo è quello di individuare i punti x a , x b ed il riferimento. Gli elementi di rete sono poi collegati tra questi punti. Ad esempio, una estremità della molla occupa la posizione x a , l'altra estremità occupa la posizione x b . Pertanto, la molla è collegata tra questi due punti. La rete meccanica completa viene disegnata in Fig. b.
Gli spostamenti x a ed x b sono nodi del circuito. Ad ogni nodo la somma delle forze deve essere pari a zero. Di conseguenza possiamo scrivere le equazioni:
f= f K =K( x a - x b )
f K = f M + f B =M D 2 x b +BD x b
Queste due equazioni possono essere risolte per le due posizioni x a ed x b e per le relative velocità v a =D x a e v b =D x b . E' quindi possibile ottenere un'equazione che metta in relazione x a ad f, x b ad x a o x b ad f combinando le due equazioni precedenti:
K( M D 2 +BD ) x a =( M D 2 +BD+K )f
( M D 2 +BD+K ) x b =K x a
( M D 2 +BD ) x b =f
La seconda equazione mostra il movimento x b derivante da un movimento dato x a mentre la prima e la terza rappresentano gli spostamenti, rispettivamente, x a ed x b dovuti ad una data forza applicata f. Da ognuna delle tre equazioni precedenti è possibile ricavare le seguenti funzioni di trasferimento relative agli schemi a blocchi rappresentati in figura:
image: 11_var_www_html_libri_pdf_equazioni_di_sistema_2_13.jpg
G 1 = x a f = M D 2 +BD+K K( M D 2 +BD )
G 2 = x b x a = K ( M D 2 +BD+K )
G= x b f = 1 M D 2 +BD
Si noti che l'ultima equazione è pari al prodotto delle prime due, ovvero
G= G 1 G 2 = x a f x b x a = x b f
La moltiplicazione delle funzioni di trasferimento è valida in quanto non c'è accoppiamento né il carico tra i due blocchi G 1 e G 2 . Il segnale x a non è influenzato dalla presenza del blocco avente la funzione di trasferimento G 2 ; quindi la moltiplicazione è valida. Quando accoppiamo più circuiti elettrici, le funzioni di trasferimento possono non essere indipendenti se i circuiti stessi non sono isolati da un amplificatore elettronico con elevata impedenza di ingresso.
Prendendo spunto da questo esempio, proviamo a ricavare le equazioni di stato per l'equazione ( M D 2 +BD+K ) x b =K x a
Questa equazione coinvolge due elementi reattivi, K ed M le cui variabili energetiche sono, rispettivamente, x b e v b . Si noti che la costante elastica K compare in questa equazione in quanto x a è l'ingresso u. Pertanto dobbiamo associare una variabile di stato a questo elemento di energia. Quindi le variabili di stato assegnati sono x b e v b =D x b , che sono le variabili di stato indipendenti di questo sistema. Siano x 1 = x b =y ed x 2 = v b = x ˙ 1 . L'equazione trasformata in forma di variabili di stato conduce alle due equazioni:
x ˙ 1 = x 2
x ˙ 2 =- K M x 1 - B M x 2 + K M u
che può essere riscritta come:
x ˙ =Ax+bu
in cui A=[ 0 1 - K M - B M ] e b=[ 0 K M ] e quindi
y= x 1 =[ 1 0 ][ x 1 x 2 ]= c T x

6.2 Sistemi Meccanici Traslatori ad Elementi Multipli

image: 12_var_www_html_libri_pdf_equazioni_di_sistema_2_14.jpg
La forza f(t) è applicata alla massa M 1 . L'attrito tra le masse M 1 ed M 2 e la superficie è indicato dai coefficienti di attrito viscoso B 1 e B 2 . Le equazioni del sistema possono essere scritte in termini dei due spostamenti x a ed x b . La rete meccanica è disegnata collegando i terminali degli elementi che hanno lo stesso spostamento:
image: 13_var_www_html_libri_pdf_equazioni_di_sistema_2_15.jpg
Poiché la somma delle forze in ogni nodo deve esser nulla, le equazioni vengono scritte secondo le regole delle equazioni ai nodi:
Nodo a:
( M 1 D 2 + B 1 D+ B 3 D+ K 1 ) x a -( B 3 D ) x b =f
Nodo b:
-( B 3 D ) x a +( M 2 D 2 + B 2 D+ B 3 D+ K 2 ) x b =0
Si può desumere un modello preciso per queste equazioni. Si osservi che K 1 , M 1 , B 1 e B 3 sono collegati al nodo a e che l'equazione al nodo a contiene tutti e quattro questi termini come coefficienti di x a . Si noti, inoltre, che l'elemento B 3 è anche connesso al nodo b e che il termine B 3 compare come coefficiente di x b . Utilizzando questo schema possiamo scrivere direttamente l'equazione per il nodo b. Così, siccome K 2 , M 2 , B 2 e B 3 sono connessi al nodo b, appaiono come coefficienti di x b . B 3 è anche collegato al nodo a e - B 3 compare come coefficiente di x a . Ogni termine dell'equazione deve essere una forza.
Le equazioni ai nodi per un sistema meccanico derivano direttamente dalla sua rete meccanica. Sono in forma simile alle equazioni ai nodi per un circuito elettrico e seguono le stesse regole.
Anche per questo esempio calcoliamo le equazioni di stato, considerando x b l'uscita del sistema. Sono presenti quattro elementi reattivi, quindi le quattro variabili di stato assegnate sono x a , x b , D x a e D x b . Otterremo un sistema del quarto ordine. Assumiamo che x 1 = x b per la molla K 2 , x 2 = x ˙ 1 = v b per la massa M 2 , x 3 = x a per la molla K 1 , x 4 = x ˙ 3 = v a per la massa M 1 , u=f e y= x b = x 1 . Siccome le quattro variabili di stato sono indipendenti, nessuna variabile di stato può essere espressa in termini delle restanti variabili. Le equazioni di sistema sono:
x ˙ =Ax+bu
y= c T x
in cui:
A=[ 0 1 0 0 - K 2 M 2 - B 2 + B 3 M 2 0 B 3 M 2 0 0 0 1 0 B 3 M 1 - K M 1 - B 1 + B 3 M 1 ]
b=[ 0 0 0 1 M 1 ]
c T =[ 1 0 0 0 ]

6.3 Circuiti Analoghi

 I circuiti analoghi rappresentano sistemi per i quali le equazioni differenziali hanno la stessa forma. Le corrispondenti variabili e i corrispondenti parametri di due circuiti rappresentati dalle equazioni della stessa forma vengono definiti analoghi. Un circuito elettrico può essere disegnato in modo simile ad un circuito meccanico ed è rappresentato da equazioni ai nodi che hanno la stessa forma matematica delle equazioni meccaniche. Gli analoghi sono elencati nella sottostante. In questa tabella la forza f e la corrente i sono analoghe e sono classificate come “variabili di attraversamento”. C'è una somiglianza fisica tra i due in quanto un indicatore di forza deve essere posto in serie al sistema. Inoltre, la “velocità di attraversamento” di un elemento meccanico è analoga alla tensione ai capi di un componente elettrico. Anche in questo caso, vi è una somiglianza fisica: uno strumento di misura deve essere collocato in parallelo al sistema in entrambi i casi. Un voltmetro, posto in un circuito per misurare la tensione, deve avere un punto di riferimento ed anche un indicatore di velocità deve anche avere un punto di riferimento. I nodi della rete meccanica sono analoghi ai nodi nella rete elettrica.
ANALOGHI DEI SISTEMI MECCANICI ED ELETTRICI
Utilizzando gli analoghi della tabella, ridisegnamo la rete meccanica con gli analoghi elettrici:
image: 14_var_www_html_libri_pdf_equazioni_di_sistema_2_16.jpg
Per questo circuito, scriviamo le equazioni ai nodi:
( C 1 D+ G 1 + G 3 + 1 L 1 D ) v 1 - G 3 v 2 =i
- G 3 v 1 +( C 2 D+ G 2 + G 3 + 1 L 2 D ) v 2 =0
Se riscriviamo le equazioni del sistema meccanico, anziché in termini di spostamenti, in termini di velocità, avremo:
( M 1 D+ B 1 + B 3 + K 1 D )D x a - B 3 D x b =f
- B 3 D x a +( M 2 D+ B 2 + B 3 + K 2 D )D x b =0
Si può notare come i due sistemi di equazioni siano formalmente identici. Anche le soluzioni delle variabili dipendenti in ogni set di equazioni avrà, quindi, la stessa forma matematica.
Il vantaggio maggiore del circuito analogo elettrico è che può essere facilmente realizzato in laboratorio. Inoltre, le variazioni dei parametri elettrici sono immediatamente visibili ed eventuali correzioni, al fine di ottenere la risposta desiderata del sistema, sono più facilmente realizzabili in un sistema elettrico.
Analizziamo ora, come esempio, l'analisi di un accelerometro. La sua schematizzazione meccanica può essere vista in questo modo:
image: 15_var_www_html_libri_pdf_equazioni_di_sistema_accelerometro.jpg
Il comportamento del sistema risulta essere del secondo ordine. L’equazione di equilibrio delle forze applicate, che mette in relazione la forza F ext , e quindi l’accelerazione a applicata alla massa M, con lo scostamento x dalla posizione di equilibrio della stessa è la seguente:
M x 2 t +b x t +kx= F ext =Ma
Passando nel dominio di Laplace e sostituendo le trasformate potrò scrivere che:
( M s 2 +bs+k )X(s)=MA(s)
da cui
G(s)= X(s) A(s) = M M s 2 +bs+k = 1 s 2 + b M s+ k M
avendo definito G(s)= X(s) A(s) come funzione di trasferimento del sistema ed in cui X(s) ed A(s) sono rispettivamente le trasformate di Laplace dello scostamento x(t) e dell’accelerazione a(t), variabili nel tempo.
Si può facilmente riconoscere un sistema del secondo ordine. Definendo ora:
Pulsazione di risonanza:   ω n = k M
Fattore di merito o di qualità:   Q= ω n M b
posso riscrivere la relazione come:
G(s)= X(s) A(s) = 1 s 2 + b M s+ k M = 1 s 2 + ω n Q s+ ω n 2 = 1 s 2 +2 ξ ω n s+ ω n 2 in cui ho definito ξ = b 2 Mk = 1 2Q lo smorzamento.
Questa funzione è del tipo:
G(s)= μ ω n 2 s 2 +2 ξ ω n s+ ω n 2
e, come noto, la sua risposta al gradino è
Y(s)= μ s ω n 2 s 2 +2 ξ ω n s+ ω n 2
La sua antitrasformata vale:
L -1 [ μ s ω n 2 s 2 +2 ξ ω n s+ ω n 2 ]= μ [ 1- 1 1- ξ 2 e - ξ ω n t sin ( ω n 1- ξ 2 t+ arccos ξ ) ]
Il ben noto grafico della risposta al gradino per un sistema del second'ordine, plottato al variare dello smorzamento, è rappresentato nell'immagine seguente:
image: 16_var_www_html_libri_pdf_equazioni_di_sistema_risposta.jpg
Proviamo, ora, a ricavare la funzione di trasferimento dell'accelerometro senza ricorrere alla scrittura dell'equazione differenziale.
Tracciamo la rete meccanica del sistema:
image: 17_var_www_html_libri_pdf_equazioni_di_sistema_rete_accelerometro.jpg
e, da questo, ricaviamo l'analogo elettrico del sistema meccanico:
image: 18_var_www_html_libri_pdf_equazioni_di_sistema_analogo_accelerometro.jpg
Volendo risolvere per via “fisica” il circuito diremmo che:
{ v R (t)=Ri(t) v L (t)=L di(t) dt d v C dt = 1 C i(t)
Facendo l'equazione alla maglia:
v R (t)+ v L (t)+ v C (t)= v i (t)
Ponendo come incognita v C (t) ricaviamo:
v R (t)=RC d v C (t) dt v L (t)=LC d 2 v C (t) d t 2
Sostituendo abbiamo la seguente equazione differenziale:
LC d 2 v C (t) d t 2 +RC d v C (t) dt + v C (t)= v i (t)
dividendo per LC e ponendo x(t) = ˆ v c (t) ci fornisce:
x ¨ + R L x ˙ + 1 LC x= 1 LC v i (t) che può essere riscritta come segue:
( D 2 + R L D+ 1 LC )x(t)= 1 LC v i (t)
Passando al dominio di Laplace abbiamo:
( s 2 + R L s+ 1 LC )X(s)= 1 LC V i (s)
da cui la funzione di trasferimento:
X(s) V i (s) = 1 LC s 2 + R L s+ 1 LC
Ponendo ω n = 1 LC e il fattore di merito Q= 1 R L C e ricordando che ξ = 1 2Q da cui ξ = R 2 C L possiamo riscriverla come:
X(s) V i (s) = V c (s) V i (s) =G(s)= ω n 2 s 2 +2 ξ ω n s+ ω n 2
fondamentalmente identica a quella calcolata per l'accelerometro.
Più semplicemente e direttamente avremmo potuto, passando alle impedenze nel regime di Laplace, calcolare direttamente la tensione ai capi del condensatore tramite un banale partitore di tensione. Ricordando che Z L (s)=sL , che Z C (s)= 1 sC e che Z R (s)=R possiamo scrivere:
V C (s)= V i (s) 1 sC 1 sC +sL+R = V i (s) 1 s 2 LC+sRC+1
dividendo sopra e sotto per LC otteniamo:
V C (s) V i (s) = 1 LC s 2 + R L s+ 1 LC
identica a quella già scritta dopo alcuni passaggi matematici. La comodità del passaggio dal sistema meccanico al suo analogo elettrico è, a questo punto, evidente...
Riprendendo quanto asserito in precedenza, e che qui riporto per comodità, ovvero che, nel sistema meccanico, ω n = k M e ξ = b 2 Mk , uguagliando pulsazione di risonanza e smorzamento del sistema meccanico a quello elettrico, possiamo scrivere che k M = 1 LC e che b 2 Mk = R 2 C L da cui discende che il coefficiente elastico k= 1 L , la massa M=C e il coefficiente di attrito b=R .